Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran: Panduan Lengkap

Dalam panduan ini, kami akan memberikan contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran. Anda akan mempelajari cara menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran dan garis singgung, serta mendapatkan pemahaman yang mendalam mengenai konsep ini.

Pengenalan Lingkaran dan Garis Singgung

Dalam matematika, lingkaran dan garis singgung adalah konsep dasar yang sering dijumpai dalam berbagai jenis soal. Pemahaman yang kuat tentang konsep ini akan sangat membantu dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan lingkaran dan garis singgung.

Lingkaran adalah himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama dari sebuah titik tertentu yang disebut sebagai titik pusat lingkaran. Jarak ini disebut sebagai jari-jari lingkaran. Dalam notasi matematika, lingkaran dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai (x – a)2 + (y – b)2 = r2, di mana (a,b) adalah koordinat titik pusat, dan r adalah jari-jari lingkaran.

Garis singgung adalah garis yang menyentuh lingkaran pada satu titik. Garis singgung ini merupakan garis yang tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran yang melewati titik sentuh. Garis singgung juga memiliki sifat khusus, yaitu gradien garis singgung sama dengan gradien jari-jari lingkaran pada titik sentuh.

Ketika menjumpai masalah yang melibatkan lingkaran dan garis singgung, langkah pertama adalah mengidentifikasi elemen-elemen penting dalam lingkaran dan mencari persamaan garis singgung. Selanjutnya, kita dapat menggunakan persamaan tersebut untuk menyelesaikan masalah yang diberikan.

Contoh Soal Lingkaran

SoalJawaban
Diketahui lingkaran dengan persamaan (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9. Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran!Titik pusat: (2, -1); Jari-jari: 3

Contoh Soal Garis Singgung

SoalJawaban
Diberikan lingkaran dengan persamaan (x – 1)2 + (y – 3)2 = 25 dan titik (4,5). Tentukan persamaan garis singgung pada titik yang bersentuhan dengan lingkaran tersebut!Persamaan garis singgung: y = 0.4x + 1.8

Dalam bagian selanjutnya, kita akan mempelajari persamaan-persamaan matematika yang terkait dengan lingkaran dan garis singgung, serta bagaimana cara menyelesaikan masalah yang melibatkan kedua konsep tersebut.

Persamaan Lingkaran

Dalam bagian ini, kita akan mempelajari persamaan matematika yang terkait dengan lingkaran. Persamaan lingkaran adalah persamaan yang dapat digunakan untuk menggambarkan lokasi semua titik pada lingkaran. Persamaan ini sering dinyatakan dalam bentuk:

(x – a)² + (y – b)² = r²

  • a dan b adalah koordinat pusat lingkaran
  • r adalah jari-jari lingkaran

Contoh Soal

Berikut ini adalah contoh soal yang terkait dengan persamaan lingkaran:

SoalJawaban
Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat di (-2, 3) dan jari-jari sebesar 5. Tentukan persamaan lingkaran.(x + 2)² + (y – 3)² = 25
Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat di (0, 0) dan titik pada lingkaran adalah (3, 4). Tentukan persamaan lingkaran.x² + y² = 25

Dalam menyelesaikan masalah-masalah yang terkait dengan persamaan lingkaran, pastikan untuk mengidentifikasi nilai a, b, dan r dengan benar, serta menggunakan rumus yang relevan untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Persamaan Garis Singgung

Garis singgung adalah garis yang menyentuh suatu lingkaran pada satu titik. Untuk mencari persamaan garis singgung, kita perlu menemukan titik-titik singgung dan gradien garis tersebut.

Misalkan terdapat sebuah lingkaran dengan persamaan:

x2 + y2 = r2

Dan terdapat suatu titik (a,b) di sekitar lingkaran yang merupakan titik singgung dari garis tersebut. Maka, persamaan garis singgung dapat dinyatakan dengan:

y – b = m(x – a)

di mana m adalah gradien garis singgung yang dapat ditemukan dengan cara :

  1. Menyelesaikan persamaan lingkaran untuk mencari x atau y yang berkaitan dengan titik singgung.
  2. Mencari turunan dari persamaan lingkaran terhadap x atau y.
  3. Menghitung gradien dengan memasukkan nilai titik singgung pada turunan tersebut.

Contoh Soal:

Jika diberikan lingkaran dengan persamaan

x2 + y2 = 25

dan titik singgung pada (3,4), temukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut.

Jawab:

Pertama, kita perlu menentukan titik di sekitar lingkaran yang merupakan titik singgung. Karena titik singgung pada (3,4), maka kita dapat substitusi nilai x dan y pada persamaan lingkaran:

32 + 42 = 25

Dari hasil ini, kita tahu bahwa titik (3,4) adalah titik yang terletak pada lingkaran.

Selanjutnya, kita akan mencari turunan dari persamaan lingkaran. Pertama-tama, persamaan lingkaran harus dikonversikan ke dalam bentuk yang memungkinkan untuk diturunkan. Dalam hal ini, persamaan lingkaran tersebut dapat dituliskan sebagai:

y = sqrt(25 – x2)

Selanjutnya, kita dapat menemukan turunan dari persamaan lingkaran tersebut:

2x / sqrt(25 – x2)

Setelah itu, kita dapat menghitung gradien dengan memasukkan nilai x=3 ke dalam turunan tersebut:

2(3) / sqrt(25 – 32)

Maka, gradien garis singgung adalah 3/4.

Terakhir, kita dapat menuliskan persamaan garis singgung dengan menggunakan titik singgung yang telah diketahui dan gradien yang telah ditemukan:

y – 4 = (3/4)(x – 3)

Persekutuan Dua Lingkaran

Dalam matematika, persekutuan dua lingkaran merupakan konsep yang penting dalam mempelajari hubungan antara dua lingkaran. Dalam konteks ini, garis singgung persekutuan juga memiliki peranan penting karena dapat digunakan untuk menemukan titik-titik singgung antara kedua lingkaran.

Untuk menentukan persamaan lingkaran persekutuan, kita perlu memahami dua jenis persekutuan, yaitu internal dan eksternal. Persekutuan internal terjadi ketika dua lingkaran saling berpotongan, sementara persekutuan eksternal terjadi ketika dua lingkaran tidak berpotongan.

Untuk menentukan persamaan lingkaran persekutuan, kita dapat menggunakan persamaan jarak antara dua titik. Berikut adalah contoh soal mengenai lingkaran persekutuan:

Contoh Soal:

Diberikan dua lingkaran dengan persamaan:

(x – 2)2 + (y + 1)2 = 25

(x + 1)2 + (y – 3)2 = 16

Tentukan persamaan lingkaran persekutuan dan titik-titik singgung antara kedua lingkaran tersebut.

Pertama-tama, kita perlu menentukan jarak antara pusat kedua lingkaran:

d = √[(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2]

Dalam hal ini, pusat lingkaran pertama memiliki koordinat (2,-1) dan pusat lingkaran kedua memiliki koordinat (-1,3). Jadi, substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan jarak dan hitung:

d = √[(2 + 1)2 + (-1 – 3)2] = √[(3)2 + (-4)2] = √[9 + 16] = 5

Karena kedua lingkaran tidak saling berpotongan, maka persekutuan antara kedua lingkaran adalah persekutuan eksternal. Oleh karena itu, jarak antara kedua titik singgung pada masing-masing lingkaran adalah sama dengan jarak antara pusat kedua lingkaran:

d = 5

Titik-titik singgung dapat ditemukan dengan menggambar garis dari pusat kedua lingkaran ke titik-titik singgung. Karena garis ini tegak lurus dengan garis singgung pada titik singgung, maka kita dapat menggunakan gradien garis ini untuk menemukan persamaan garis singgung:

m = -(x2 – x1) / (y2 – y1)

Dalam hal ini, gradien garis singgung pada titik singgung lingkaran pertama adalah:

m = -(2 – x) / (-1 – y) = -x + 2 / y + 1

Dan gradien garis singgung pada titik singgung lingkaran kedua adalah:

m = -(-1 – x) / (3 – y) = x + 1 / y – 3

Dari sini, kita dapat menyelesaikan persamaan garis singgung masing-masing lingkaran dengan menggunakan persamaan titik-slope:

Garisan singgung lingkaran pertama:

y – (-1) = (-x + 2) / (y + 1)(-1)

y + 1 = x – 2

y = x – 3

Garisan singgung lingkaran kedua:

y – 3 = (x + 1) / (y – 3)(-1)

y + 3 = -x – 1

y = -x – 4

Jadi, persamaan lingkaran persekutuan adalah:

x2 + y2 – 2x – 2y + 4 = 0

Titik-titik singgung antara kedua lingkaran adalah:

(-2,-1) dan (1,-4)

Dalam kasus ini, kita dapat memverifikasi titik-titik singgung dengan mengganti nilai x dan y ke dalam persamaan lingkaran untuk memastikan bahwa titik-titik ini memenuhi persamaan tersebut.

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Berikut ini adalah beberapa contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran beserta penyelesaiannya:

NoSoalPenyelesaian
1Diketahui dua lingkaran dengan persamaan (x-1)2 + (y-2)2 = 9 dan (x-4)2 + (y-2)2 = 16. Tentukan persamaan garis singgung pada titik singgung kedua lingkaran.
  1. Cari titik-titik singgung dengan mencari solusi sistem persamaan:
    • (x-1)2 + (y-2)2 = 9
    • (x-4)2 + (y-2)2 = 16
  2. Hasilnya adalah titik (2,5) dan (3,-1).
  3. Tentukan kemiringan garis singgung menggunakan gradien lingkaran pada titik singgung:
    • Lingkaran pertama: m1 = -(x-1)/(y-2) = -1/2
    • Lingkaran kedua: m2 = -(x-4)/(y-2) = 1/3
  4. Titik singgung pertama: (2,5).
    • Kemiringan garis singgung pertama: m1′ = -1/m1 = 2
    • Persamaan garis singgung pertama: y – 5 = 2(x – 2) atau y = 2x + 1.
  5. Titik singgung kedua: (3,-1).
    • Kemiringan garis singgung kedua: m2′ = -1/m2 = -3
    • Persamaan garis singgung kedua: y – (-1) = -3(x – 3) atau y = -3x + 8.
2Dua lingkaran dengan jari-jari 8 cm dan 3 cm saling bersinggungan. Tentukan jarak kedua pusat lingkaran.
  1. Tentukan jarak pusat lingkaran dengan rumus:
    • Jarak pusat = jarak titik singgung + jari-jari lingkaran kecil.
    • Jarak titik singgung: 8 + 3 = 11 cm.
    • Jarak pusat: 11 + 3 = 14 cm.
3Dua lingkaran dengan jari-jari 5 cm dan 12 cm memiliki pusat yang terpisah 13 cm. Tentukan panjang garis singgung kedua lingkaran.
  1. Tentukan jarak pusat lingkaran dengan rumus:
    • D = jarak pusat = 13 cm.
  2. Tentukan panjang garis singgung dengan rumus:
    • s = √(D2 – (r1 – r2)2)
    • s = √(132 – (5 + 12)2) ≈ 2,85 cm.

Ketiga contoh soal di atas memberikan gambaran mengenai bagaimana garis singgung persekutuan dua lingkaran dapat dihitung dan ditentukan. Dalam mempelajari konsep ini, penting untuk mengerti dasar-dasar lingkaran dan persamaan garis sehingga proses penyelesaian menjadi lebih mudah.

Ringkasan dan Kesimpulan

Dalam panduan ini, kami telah membahas tentang Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran dan memberikan contoh soal mengenai masalah yang berkaitan dengan lingkaran dan garis singgung. Anda telah mempelajari pengertian dasar tentang lingkaran dan garis singgung, persamaan lingkaran, persamaan garis singgung, serta persekutuan dua lingkaran.

Sebagai contoh soal matematika, Anda telah melihat bagaimana menyelesaikan masalah tentang lingkaran dua dan garis singgung dua lingkaran. Dalam menjawab contoh soal, Anda dapat mengaplikasikan pengetahuan yang telah dipelajari sebelumnya mengenai elemen-elemen penting dalam lingkaran, persamaan lingkaran, dan persamaan garis singgung.

Dalam kesimpulannya, pemahaman yang mendalam tentang garis singgung persekutuan dua lingkaran akan membantu Anda menyelesaikan masalah matematika yang lebih kompleks. Dengan memahami konsep ini, Anda dapat mengatasi tantangan yang berkaitan dengan perhitungan garis singgung dan persekutuan lingkaran. Teruslah berlatih dan mengasah keterampilan matematika Anda dengan menjawab contoh soal matematika yang beragam.