Cara Menghitung Determinan Matriks – Langkah Mudah & Cepat

Anda sedang belajar aljabar linear dan mempelajari tentang determinan matriks? Maka, sangat penting bagi Anda untuk memahami cara menghitung determinan matriks. Dalam artikel ini, kami akan mengupas tuntas cara menghitung determinan matriks dengan mudah dan cepat. Kami akan memberikan rumus perhitungan determinan dan juga teknik-teknik yang berbeda dalam menghitung determinan matriks.

Baca terus artikel ini untuk memperoleh pemahaman yang komprehensif tentang cara menghitung determinan matriks dan pentingnya memahami determinan matriks dalam aljabar linear.

Apa itu Determinan Matriks?

Dalam aljabar linear, determinan matriks adalah ukuran penting yang digunakan dalam berbagai bidang seperti matematika, fisika, dan teknik. Determinan matriks dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear, memperoleh invers matriks, dan menghitung eigenvalue matriks. Untuk memahami konsep determinan matriks, perhatikan definisi dan teori dasar di bawah ini.

Definisi determinan matriks adalah bilangan riil yang dihasilkan dari operasi matematis yang dilakukan pada suatu matriks. Dalam notasi matematika, determinan matriks A dituliskan sebagai det(A) atau |A|.

Dalam perhitungan determinan matriks, terdapat beberapa teknik yang dapat digunakan, salah satunya adalah dengan mengikuti rumus perhitungan determinan matriks. Rumus ini tergantung pada ordo matriks. Misalnya, rumus perhitungan determinan matriks ordo 2×2 akan berbeda dengan ordo 3×3, dan seterusnya. Namun, untuk ordo matriks yang lebih besar, perhitungan dapat dilakukan dengan menggunakan teknik ekspansi kofaktor atau reduksi baris.

Dengan memahami konsep dasar determinan matriks dan teknik perhitungannya, Anda dapat mengaplikasikan ilmu tersebut dalam berbagai bidang, termasuk matematika, fisika, dan teknik.

Rumus Perhitungan Determinan Matriks

Determinan matriks adalah bilangan yang terkait dengan suatu matriks. Rumus perhitungan determinan matriks umumnya digunakan dalam menghitung aljabar linear.

Terlebih dahulu, perlu dipahami bahwa perhitungan determinan hanya dapat dilakukan pada matriks persegi. Dalam matriks persegi, determinan dapat dihitung menggunakan rumus berikut:

|A| = ∑j=1n (-1)i+j aij |Aij|

di mana |A| adalah determinan matriks, (-1)i+j adalah koefisien pembulatan, aij adalah elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j, dan |Aij| adalah minor yang dihasilkan dari menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks asli.

Berikut adalah contoh perhitungan determinan matriks 2×2 dan 3×3 menggunakan rumus perhitungan determinan matriks:

MatriksDeterminan
23
45
|A| = (2×5) – (3×4) = -2
123
456
789
|A| = (1x[(5×9)-(6×8)]) – (2x[(4×9)-(6×7)]) + (3x[(4×8)-(5×7)]) = 0

Dalam perhitungan determinan, dikenal pula metode lain selain rumus perhitungan determinan matriks, seperti metode Cramer, metode ekspansi kofaktor, dan metode reduksi baris. Kita dapat memilih metode yang paling mudah dan sesuai dengan jenis matriks yang hendak dihitung.

Sifat-Sifat Determinan Matriks

Dalam aljabar linear, determinan matriks memiliki sifat-sifat yang dapat membantu mempermudah perhitungan. Berikut adalah beberapa sifat-sifat determinan matriks:

SifatPenjelasan
Determinan matriks yang matriks segitiga memiliki nilai sama dengan hasil kali diagonal utamaJika matriks merupakan matriks segitiga atas atau bawah, maka nilai determinannya sama dengan hasil kali diagonal utama. Dalam hal ini, kita dapat mempermudah perhitungan determinan matriks dengan mengubah matriks ke dalam bentuk matriks segitiga atas atau bawah.
Determinan matriks yang baris atau kolomnya merupakan kombinasi linear dari baris atau kolom yang lain memiliki nilai determinan matriks nolJika terdapat baris atau kolom dalam matriks yang merupakan kombinasi linear dari baris atau kolom lainnya, maka nilai determinan matriks nol. Sifat ini dapat digunakan untuk memetakan baris atau kolom yang sama ke dalam baris atau kolom lainnya untuk mempermudah perhitungan determinan matriks.

Jika kita memahami sifat-sifat determinan matriks, maka perhitungan determinan matriks dapat dilakukan dengan lebih mudah dan cepat. Selain itu, dengan memahami sifat-sifat determinan matriks, kita dapat memperoleh informasi tambahan tentang matriks yang sedang kita teliti.

Metode Cramer

Metode Cramer adalah salah satu alat yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks. Metode ini diterapkan pada matriks persegi n x n. Untuk menghitung determinan matriks dengan menggunakan metode Cramer, kita harus menentukan terlebih dahulu nilai variabel x, y, z, dan seterusnya.

Setelah nilai variabel ditentukan, kita dapat menggunakan rumus perhitungan determinan matriks untuk menghitung determinan matriks.

Berikut adalah contoh penggunaan metode Cramer dalam menghitung determinan matriks:

ab
23
45

Berdasarkan matriks di atas, kita dapat menentukan nilai x dan y dengan cara:

x = det(2 3; 4 5)/det(a b; c d)

y = det(a 2; c 4)/det(a b; c d)

Dalam hal ini, kita menggunakan rumus Cramer untuk menghitung determinan matriks.

Setelah nilai x dan y ditentukan, kita dapat menghitung determinan matriks dengan menggunakan rumus perhitungan determinan matriks:

det(a b; c d) = a*d – b*c

Sehingga kita dapat menghitung determinan matriks dari matriks di atas dengan cara:

det(2 3; 4 5) = 2*5 – 3*4

det(2 3; 4 5) = -2

Dengan demikian, determinan matriks dari matriks di atas adalah -2.

Metode Ekspansi Kofaktor

Metode ekspansi kofaktor adalah metode lain yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks. Metode ini lebih efektif jika digunakan pada matriks dengan orde yang lebih besar.

Untuk menghitung determinan matriks menggunakan metode ekspansi kofaktor, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Pilih salah satu baris atau kolom matriks, lalu kalikan setiap elemen di baris atau kolom itu dengan kofaktornya.
  2. Jumlahkan semua hasil kali tersebut.

Kofaktor adalah bilangan yang dipakai dalam metode ini dan dihitung dengan cara sebagai berikut:

  1. Pilih salah satu elemen matriks.
  2. Hitung determinan matriks yang tersisa setelah dihapus baris dan kolom yang mengandung elemen tersebut.
  3. Kalikan hasil determinan tersebut dengan (-1)^(i+j), di mana i dan j adalah indeks dari elemen tersebut dalam matriks.

Sebagai contoh, perhatikan matriks 3×3 berikut:

532
461
2-33

Kita akan menghitung determinan matriks tersebut menggunakan metode ekspansi kofaktor. Misalkan kita memilih baris ketiga, maka kita perlu menghitung:

-2 x (-1)^(3+1) x det(
5        3
4        6
)        +        3 x (-1)^(3+2) x det(
5        2
4        1
)

Maka, kita peroleh:

-2 x (-1)^(4) x (5 x 6 – 3 x 1) + 3 x (-1)^(5) x (5 x 1 – 2 x 4) = -6

Dalam hal ini, determinan matriks tersebut adalah -6.

Metode Reduksi Baris

Metode reduksi baris adalah salah satu metode yang digunakan untuk menghitung determinan matriks. Metode ini menghasilkan determinan matriks dengan mengubah matriks asal menjadi matriks eselon (matriks segitiga atas).

Langkah-langkah metode reduksi baris dalam menghitung determinan matriks adalah:

  1. Ubah matriks asal menjadi matriks eselon dengan menggunakan operasi baris dasar seperti menukar baris, menggandakan baris, dan menambah atau mengurangi kelipatan suatu baris ke baris lain.
  2. Mulai dari elemen diagonal utama matriks eselon, kalikan setiap elemen diagonal utama tersebut, kemudian tambahkan atau kurangkan hasil kali tersebut sesuai aturan tanda.
  3. Hasil penjumlahan atau pengurangan dari hasil kali diagonal utama tersebut adalah determinan matriks.

Berikut adalah contoh perhitungan determinan matriks 3×3 menggunakan metode reduksi baris:

253
416
789

Langkah 1: Ubah matriks asal menjadi matriks eselon.

253
0-9-6
0019

Langkah 2: Hitung hasil kali diagonal utama.

2 x (-9) x 19 = -342

Langkah 3: Tentukan tanda hasil kali diagonal utama.

Pola aturan tanda untuk hasil kali diagonal utama adalah positif-negatif-positif, atau negatif-positif-negatif jika jumlah baris atau kolom ganjil.

Langkah 4: Hitung determinan matriks.

Determinan matriks 3×3 tersebut adalah -342.

Contoh Soal Perhitungan Determinan Matriks

Berikut ini adalah beberapa contoh soal perhitungan determinan matriks beserta cara-cara menghitungnya menggunakan rumus perhitungan determinan matriks dan metode-metode lainnya.

Contoh 1

Diberikan matriks A berikut:

21
32

Tentukan determinan matriks A.

Penyelesaian:

Menggunakan rumus perhitungan determinan matriks, maka:

|A| =2(2)1(3)
3(2)2(1)

|A| = (4 – 3) = 1

Dengan demikian, determinan matriks A adalah 1.

Contoh 2

Diberikan matriks B berikut:

123
121
312

Tentukan determinan matriks B menggunakan metode ekspansi kofaktor.

Penyelesaian:

Langkah 1: Mencari kofaktor untuk setiap elemen matriks B.

|B11| =(2)(2)(1)(1)
(1)(2)(3)(1)

|B11| = (4 – 2) = 2

|B12| = -1 x

|12|
|32|

= -[(1 x 2) – (3 x 2)] = -4

|B13| =

|12|
|12|

= (1 x 2) – (1 x 2) = 0

|B21| = -1 x

|23|
|12|

= -[(2 x 2) – (3 x 1)] = -1

|B22| =

|13|
|32|

= (1 x 2) – (3 x 3) = -7

|B23| = -1 x

|13|
|31|

= -[(1 x 2) – (3 x 3)] = 7

|B31| =

|23|
|21|

= (2 x 1) – (2 x 3) = -4

|B32| = -1 x

|13|
|21|

= -[(1 x 1) – (3 x 3)] = -8

|B33| =

|12|
|21|

= (1 x 1) – (2 x 2) = -3

Langkah 2: Menghitung determinan dengan mengalikan setiap elemen pada baris atau kolom pertama dengan kofaktornya dan menjumlahkannya.

|B| = (1 x 2) + (2 x -1) + (3 x 0)

= 2 – 2 + 0

= 0

Dengan demikian, determinan matriks B adalah 0.

Kesimpulan

Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa menghitung determinan matriks merupakan keterampilan yang penting dalam aljabar linear. Dalam menghitung determinan matriks, terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, seperti metode Cramer, metode ekspansi kofaktor, dan metode reduksi baris. Namun, setiap metode memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing.

Untuk menghitung determinan matriks dengan mudah dan cepat, penting bagi pembaca untuk memahami teori dasar perhitungan determinan matriks dan sifat-sifat determinan. Dengan memahami sifat-sifat determinan matriks, pembaca dapat menggunakan teknik-teknik yang sesuai untuk menghitung determinan matriks.

Sebagai kesimpulan, mempelajari cara menghitung determinan matriks bukan hanya penting dalam akademik, tetapi juga dapat memudahkan pengerjaan aljabar linear dalam kehidupan sehari-hari. Dengan penguasaan keterampilan ini, pembaca dapat menghitung determinan matriks dengan mudah dan cepat untuk menyelesaikan berbagai masalah dan aplikasi dalam bidang matematika dan sains.

Originally posted 2023-06-25 11:10:12.